2024年山东职高数学数列试卷真题(山东职高数学数列试卷真题答案)

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本文目录

1. 数学数列的基本题型
2. 2017年高考数学模拟试题及答案:数列
3. 职高等比数列数学题 急!

一、数学数列的基本题型

数列摘要：数列问题是一个很有趣的问题，生活中的很多事件，都和数列紧紧的联系在一起，本课题重点研究了等差数列，等差数列的判定，等差数列的性质，等差数列的证明，以及数学证明中常用的方法数学归纳法等。关键词：等差等差数列相连项前n项和在数学发展的早期已有许多人研究过数列这一课题，特别是等差数列。例如早在公元前2700年以前埃及数学的《莱因特纸草书》中，就记载著相关的问题。在巴比伦晚期的《泥板文书》中，也有按级递减分物的等差数列问题。其中有一个问题大意是： 10个兄弟分100两银子，长兄最多，依次减少相同数目。现知第八兄弟分得6两，问相邻两兄弟相差多少？数列是从生活中抽像出来的，日常生活中遇到的许多实际问题，如贷款、利率、折旧、人口增长、放射物的衰变等都可以用等差数列和等比数列来刻画,然而在数学这门学科中数列又是如何定义的呢？数列：按一定次序排列的一列数表示方法：1列举法：如数列，， 2解析法：通项公式、递推公式求数列通项的方法：观察归纳法、待定系数法、公式法数列的分类：1按项数分为有穷数列和无穷数列 2按范围分为有界数列和无界数列 3按单调性分为递增数列、递减数列和常数列（摆动数列）我们在日常生活中经常会碰见一些关于数列的问题 1．四年级同学小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，…（问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小李是石河子大学化学系的一名学生，他的英语成绩很棒，他在大二时就过了外语四级，她目前的单词量多达4500但后来迷上了网络游戏，他打算从今天起不再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉30个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：4500，4470，4440，4410，…（问：多少天后她那4500个单词全部忘光？）从上面两例中，我们分别得到两个数列① 5，15，25，35，…和② 4500，4470，4440，4410，…大家仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等--应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字--等差数列） 1．等差数列的定义：如果一个数列，从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数，我们把这样的数列叫做等差数列 2．等差数列的通项公式：【或】等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是，公差是d，则据其定义可得：即：即：即：……由此归纳等差数列的通项公式可得：等差中项：如过三个数成等差数列那么中间一项称为的等差中项∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项和公差d，便可求得其通项下面我们来具体研究等差数列的一些问题一、等差数列的判定方法 1．若数列从第二项起每一项与前一项的差都为同一个常数d,即：-=d(常数)则是等差数列，其公差为d 2．若数列从第二项起，每一项的两倍都等于前一项与后一项的和即： 2=+则是等差数列（是与的等差中项） 3．若数列的通项是项数n的一次多项式或者是常数，即：=(p,q为常数)，则是等差数列，其首项是，公差是 4．若数列的前n项和是项数n的二次项系数为零的二次多项式或一次多项式，即：（k,h为常数），则是等差数列，其首项是，公差是 5．若数列是公差为d的等差数列，k是一个常数，则数列是公差为kd的等差数列 6．若数列是公差为d的等差数列，r是一个常数，则数列也是公差为d的等差数列例1．判断下列数列是否为等差数列？如果是写出其公差（1）的第n项为：（2）的第n项为：（3）的第n项和为：（4）的第n项和为：解：（1）因为=5=5=所以是等差数列，其公差为（2）因为=所以是项数n的一次多项式，从而是等差数列，其公差为4。（3）因为=所以是项数n的二次多项式，二次多项式系数是3，常数项为零，因此是等差数列，其公差d=6(4)所以是项数n的二次多项式，常数项为1，因此不是等差数列二、等差数列的基本公式及一些简单求法基本公式：（1）=或者==（2）（3），特别的或者，特别的(一)简单公式求法利用等差数列的基本公式，解一些关于等差数列的题目，俗话说的好知三求二。例1．在等差数列中，已知，，求,,解法一：∵，，则∴解法二：∵∴小结：第二通项公式例2．将一个等差数列的通项公式输入计算器数列中，设数列的第s项和第t项分别为和，计算的值，你能发现什么结论？并证明你的结论解：通过计算发现的值恒等于公差证明：设等差数列{}的首项为，末项为，公差为d，⑴-⑵得小结：①这就是第二通项公式的变形，②几何特征，直线的斜率（2）相连项求法如过三个数成等差数列那么中间一项称为的等差中项。若三个数成等差数列时，我们通常设等差中项为a,公差为d,于是这三个数为：，这样的话它们的和就是一个差与公d无关的数，（只与等差中项a有关）这样通常可以简化运算，同理若四个连续的数成等差数列，我门通常把它们设为：例1，若三个数成等差数列，且三项和为27，三项的平方和为315，求这个等差数列。解因为三个数成等差数列，可以设为，由假设知即得所以所求的等差数列为：3 9 15或者 15 9 3例3四个数成等差数列，其四个数的平方和为94，第一个数与第四个数的积比第二个数与第三个数的积少18，求此四数.解：设四数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则根据题意得即：∴或故此四数为：8，5，2，-1或1，-2，-5，-8或-1，2，5，8或-8，-5，-2,1(二)函数观点解数列问题其实有时候我们完全可以把数列的同项公式，看成一个函数的解析式，从而可以用函数的观点来最数列的最值等。例1．设等差数列中前4项的和，前12项的和求：（1）数列的前20项的和与前n项的和的最小值（2）数列的通项公式解：设则解得因此前项的和的公式为：（1）又取则的小值。（2）通过比较我们知道，等差数列的首项所以因此通项公式是：三、等差数列的性质（1）项数之和相同的性质在等差数列中，项数相同的两项其和都相等，即特别的当则当则例1，设等差数列有n项，前三项的和为24，后三项的和为60，所有项的和为448，求这个等差数列的项数解法一，（利用基本公式）设这个等差数列的公差为d,由于是解得 n=32（2）解法二（利用项数之和相同的性质）由假设知：，因为所以即：由于，所以因此(2)等距同长组的性质若等差数列的公差为d，将这个数列从第一项起划分成项数相同的若干数组（称为相邻同长组），则各个组内相邻项之和：也是一个等差数列，其公差为提醒：（公差为d的等差数列，取出等距离的项构成一个新的数列，此数列仍是等差数列其公差为kd(k为取出来的项数之差)例1已知等差数列的前n项和为，且，，试求。解法一因为，，，…，，成等差数列，设公差为d，前10项的和为：，∴。∴前11项的和。解法二设等差数列的公差为d，则，∴数列成等差数列。∴，即。∴。解法三设等差数列的公差为d，则。又，。由得，∴。∴。点评解法一是依据等差数列均匀分段求和后组成的数列仍为等差数列；解法二是依据等差数列的前n项的算术平均数组成的数列仍为等差数列；解法三是利用数列的求和定义及等差数列中两项的关系。熟记等差数列的这些性质常可达到简化解题的目的。(3)奇偶项和的性质在等差数列中，当项数为偶数2n时则：当项数为奇数2n-1时则：例1．设等差数列中，前12项的和其中偶数项的和与奇数项的和之比，求这个等差数列的公差d解：解法一（应用基本公式）由假设知解得 d=5解法二（应用奇偶项和的性质）由假设得，所以，因此 d=5点评：第一种方法运用了等差数列的基本公式，这是大家最容易想到的，但是计算量很大，计算过程过与烦琐，而第二种方法巧妙的应用了等差数列中奇偶项和的性质，计算简单明了！(四)、数学归纳法与等差数列的有关证明数学归纳法依据的是自然数的"归纳公理"，证明过程为：假设M是自然数集N的子集，如果满足①1∈M。②当k∈M时能推出k＋1∈M，那么M＝N。由归纳公理可以导出数学归纳法原理：设P(n)是与所有自然数n有关的命题，如果①P(1)是真命题。②当P(k)是真命题时能推出P(k＋1)也是真命题，那么对于任意自然数n，P(n)都是真命题。数学归纳法的基本形式：对于与所有自然数有关的命题P(n)，如果能：①证明命题P(1)成立。②假设对于任意自然数k，P(k)成立，证明P(k＋1)也成立。则能断言命题P(n)对所有自然数n都成立。根据自然数集的"最小数原理"(即自然数集的每一个非空的子集必有最小数)可以推得数学归纳法的另一种形式(第二数学归纳法)：对于与所有自然数有关的命题P(n)，如果能：①证明命题P(1)成立。②假设对于任一自然数k，当1≤n≤k时 P(n)成立，证明P(k＋1)也成立。则能断言对所有自然数n，命题P(n)都成立。例1．数列｛an｝的前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列｛an｝的前3项；(2)求数列｛an｝的通项公式(写出推证过程)；解：(1)由题意,当n=1时有(a1+2)/2=根号（2S1） S1=a1∴(a1+2)/2=根号(2a1)解得：a1=2.当n=2时有(a2+2)/2=根号（2*S2）, S2=a1+a2将a1=2代入，整理得(a2-2)2=16.由a2＞0,解得 a2=6.当n=3时有(a3+2)/2=根号（2*S3）, S3=a1+a2+a3将a1=2,a2=6代入，整理得(a3-2)2=64.由a3＞0,解得 a3=10.故该数列的前3项为2,6,10.(2)解:由(1)猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是 an=4n-2(n∈N).①当n=1时,因为4×1-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立.②假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2.由题意,有(ak+2)/2=根号（2*Sk）将ak=4k-2代入上式,得 2k=根号（2Sk）,解得Sk=2k2.由题意,有 [a(k+1)+2]/2=根号[2S(k+1)],S(k+1)=Sk+a(k+1)将Sk=2k^2代入，得到[a(k+1)+2]^2/4=2[a(k+1)+2k^2] a(k+1)^2-4a(k+1)+4-16k^2=0由ak+1＞0,解得: ak+1=2+4k.所以 ak+1=2+4k=4(k+1)-2.这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.（这道题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识和逻辑推理能力）（5）、等差数列的有关应用例1、流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某市去年11月份曾发生流感，据资料记载，11月1日，该市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人，到11月30日止，该市在这30天内感染该病毒的患者共有8670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数。分析：设11月n日这一天新感染者最多，则由题意可知从11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列；从n+1日到30日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和即为这个月总的感染人数。略解：由题意，11月1日到n日，每天新感染者人数构成一等差数列an，a1=20,d1=50,11月n日新感染者人数an=50n-30；从n+1日到30日，每天新感染者人数构成等差数列bn,b1=50n-60,d2=-30，bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11月30日新感染者人数为b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.故共感染者人数为：=8670，化简得：n2-61n+588=0,解得n=12或n=49(舍)，即11月12日这一天感染者人数最多，为570人。例2、八个村庄，每个村庄只和两个村庄相邻，把256吨化肥按下述规则分给它们：每个村庄所得的是它的两邻近村庄所得之和的一半。试证明只有一种分法。解：设八个村庄的化肥分别为（吨），由题意得，，。故；；……；均成等差数列，即，，，。因此，数列成等差数列。设这个数列公差为，因为第9项等于第1项，则，所以。即是常数列，从而。因此，化肥仅有一种分法，即每庄各分32吨。例3、食品罐头堆成六角垛（即正六棱锥）：顶层是一个，以下各层都排成正六角形，逐层每边递增一个，设底层外圈每边是个，求罐头总数。解：底层罐头除中心一个外，其余各圈成一个公差是6的等差数列，首项为6，末项是，则底层总数为，于是罐头总数是（个）（6）、等比数列的有关知识与等差数列，同时而产生的有一种重要的数列，就是等比数列，本课题只做简单介绍，如果您想有更深刻的了解，可以与等差数列对比，自行寻找、研究、查阅资料，相信你会有不凡的收获！（1）、等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。例如：数列5，25，125，625…就是等比数列，其公比为5。定义还可以叙述为：在数列{an}中，若，则{an}是等比数列。易知q≠0。是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议，如写成，可让学生研究行不行，好不好；接下来再问，能否改写为是等比数列？为什么不能？式子给出了数列第项与第项的数量关系，但能否确定一个等比数列？（不能）确定一个等比数列需要几个条件？当给定了首项及公比后，如何求任意一项的值？所以要研究通项公式.（2）.等比数列的通项公式：①不完全归纳法.，…，，这个式子相乘得，所以（7）、等比等差数列的综合应用以及一般数列的一些简单证明题例1、求数列前项之和：猜想：设此数列前项之和为，由计算，有，一般地，得猜想。证明：设上述猜想为，现对进行归纳证明，（i）当＝1时，，所以为真；（ii）设为真，即，则，这说明也真。由（i）、（ii）证得例6、为了保护某珍贵文物古迹，政府决定建一堵大理石护墙。设计时，为了与周边景点协调，对于同种规格的大理石用量须按下述法则计算：第一层用全部大理石的一半多一块，第二层用剩下的一半多一块，第三层…依次类推，到第十层恰好将石块用完，问共需大理石多少块？每层各用大理石多少块？解：设共需大理石块，则第一层：；第二层：；第三层：；…；第十层：，从而有即，。答：共用大理石2046块，各层分别用大理石1024，512，256，128，64，32，16，8，4，2块。（8）、从数学王子高斯那里学到的"数学王子"高斯的故事"老师，我没有胡闹"--"数学王子"高斯的故事 7岁那年，小高斯上小学了。教师名字叫布特纳，是当地小有名气的"数学家"。这位来自城市的青年教师，总认为乡下的孩子都是笨蛋，自己的才华无法施展。三年级的一次数学课上，布特纳对孩子们又发了一通脾气，然后，在黑板上写下了一个长长的算式：81297+81495+81693+……+100701+100899=？"哇！这是多少个数相加呀？怎么算呀？"学生们害怕极了，越是紧张越是想不出怎么计算。布特纳很得意。他知道，像这样后一个数都比前一个数大198的100个数相加，这些调皮的学生即使整个上午都乖乖地计算，也不会算出结果。不料，不一会儿，小高斯却拿着写有答案的小石板过来了，说："老师，我算完了。"布特纳连头都没抬，生气地说："去去，不要胡闹。谁想胡乱写一个数交差，可得小心！"说完，挥动了一下他那铁锤似的拳头。可是小高斯却坚持不走，说："老师，我没有胡闹。"并把小石板轻轻地放在讲台上。布特纳看了一眼，惊讶得说不出话来，没想到，这个10岁的孩子居然这么快就算出了正确的答案。原来，小高斯不是像其他孩子那样一个数一个数地加，而是细心地观察，动脑筋，找规律。他发现一头一尾两个数依次相加，每次加得的和都是182196，求50个182196的和可以用乘法很快算出。用我们现在的眼光来看的话，其实老师给出的数列就是本课题重点的研究的等差数列，而高斯正是巧妙的运用了等差数列的性质，得到了快速而又准确的答案！等差数列是多么有趣啊！（9）、奇妙的斐波那契数列(美就在你的身边)中世纪的意大利数学家斐波那契（Fibonacci Leonardo [1],约1170-1250），其最早、最重要的著作是《算盘书》（1202年完成），在其1228年的修订本中记载着一个有趣的，并且后来成为非常著名的问题："兔子繁殖问题"。该问题是说：兔子在出生两个月后就具有生殖能力。设有一对兔子每个月都生一对兔子，生出来的兔子在出生两个月之后，也每个月生一对兔子。那么，从一对小兔开始，满一年时可以发展到多少对兔子？按照这种规律，可以不难算出，每个月的兔子数构成一个数列 1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，…这一数列被称为斐波那契数列，是由数学家Lukas为纪念斐波那契而建议命名的。该数列从第三项开始，每一项都是其前面两项之和。

二、2017年高考数学模拟试题及答案:数列

1．(2015·四川卷)设数列{an}(n＝1,2,3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列。

(2)记数列an(1的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|<1 000(1成立的n的最小值。

解(1)由已知Sn＝2an－a1，有an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)。

又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，

所以a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2。

所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列。

所以Tn＝2(1＋22(1＋…＋2n(1＝2(1＝1－2n(1。

由|Tn－1|<1 000(1，得－1(1<1 000(1，

因为29＝512<1 000<1 024＝210，所以n≥10。

于是，使|Tn－1|<1 000(1成立的n的最小值为10。

2．(2015·山东卷)设数列{an}的前n项和为Sn。已知2Sn＝3n＋3。

(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn。

解(1)因为2Sn＝3n＋3，所以2a1＝3＋3，故a1＝3，

当n>1时，2Sn－1＝3n－1＋3，

此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，即an＝3n－1，

又因为n＝1时，不满足上式，所以an＝3n－1，n>1。(3，n＝1，

(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝3(1，

当n>1时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n。

当n>1时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝3(1＋(1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n)，

所以3Tn＝1＋(1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n)，

两式相减，得2Tn＝3(2＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝3(2＋1－3－1(1－31－n－(n－1)×31－n＝6(13－2×3n(6n＋3，所以Tn＝12(13－4×3n(6n＋3。经检验，n＝1时也适合。

综上可得Tn＝12(13－4×3n(6n＋3。

3.(2015·天津卷)已知数列{an}满足an＋2＝qan(q为实数，且q≠1)，n∈N*，a1＝1，a2＝2，且a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差数列。

(2)设bn＝a2n－1(log2a2n，n∈N*，求数列{bn}的前n项和。

解(1)由已知，有(a3＋a4)－(a2＋a3)＝(a4＋a5)－(a3＋a4)，即a4－a2＝a5－a3，

所以a2(q－1)＝a3(q－1)。又因为q≠1，故a3＝a2＝2，由a3＝a1·q，得q＝2。

当n＝2k－1(k∈N*)时，an＝a2k－1＝2k－1＝22(n－1；

当n＝2k(k∈N*)时，an＝a2k＝2k＝22(n。

所以，{an}的通项公式为an＝，n为偶数。(n

(2)由(1)得bn＝a2n－1(log2a2n＝2n－1(n。设{bn}的前n项和为Sn，则Sn＝1×20(1＋2×21(1＋3×22(1＋…＋(n－1)×2n－2(1＋n×2n－1(1，

2(1Sn＝1×21(1＋2×22(1＋3×23(1＋…＋(n－1)×2n－1(1＋n×2n(1，

上述两式相减，得2(1Sn＝1＋2(1＋22(1＋…＋2n－1(1－2n(n＝2(1－2n(n＝2－2n(2－2n(n，

所以，数列{bn}的前n项和为4－2n－1(n＋2，n∈N*。

4．(2015·合肥质检)已知函数f(x)＝x＋x(1(x>0)，以点(n，f(n))为切点作函数图像的切线ln(n∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图像及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝|AnBn|。

(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式；

(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn<1。

解(1)对f(x)＝x＋x(1(x>0)求导，得f′(x)＝1－x2(1，

则切线ln的方程为y－n(1＝n2(1(x－n)，

由an＝|AnBn|知an＝n2(n－1＝n2(n＋1)(1。

(2)证明：∵nan＝n(n＋1)(1＝n(1－n＋1(1，

∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－2(1＋2(1－3(1＋…＋n(1－n＋1(1＝1－n＋1(1<1。

5．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列。

(2)令bn＝(－1)n－1anan＋1(4n，求数列{bn}的前n项和Tn。

解(1)因为S1＝a1，S2＝2a1＋2(2×1×2＝2a1＋2，

S4＝4a1＋2(4×3×2＝4a1＋12，

由题意得(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，

(2)bn＝(－1)n－1anan＋1(4n＝(－1)n－1(2n－1)(2n＋1)(4n

Tn＝3(1－5(1＋…＋2n－3(1＋2n－1(1－2n＋1(1＝1－2n＋1(1＝2n＋1(2n。

Tn＝3(1－5(1＋…－2n－3(1＋2n－1(1＋2n＋1(1＝1＋2n＋1(1＝2n＋1(2n＋2。

所以Tn＝，n为偶数。(2n或Tn＝2n＋1(2n＋1＋(－1)n－1

6．(2015·杭州质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝1－4an(1，其中n∈N*。

(1)设bn＝2an－1(2，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式；

(2)设cn＝n＋1(4an，数列{cncn＋2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn

解(1)∵bn＋1－bn＝2an＋1－1(2－2an－1(2

＝2an－1(4an－2an－1(2＝2(常数)，

(2)由cn＝n＋1(4an，an＝2n(n＋1得cn＝n(2，

∴cncn＋2＝n(n＋2)(4＝2n＋2(1，

∴Tn＝21－3(1＋2(1－4(1＋3(1－5(1＋…＋n(1－n＋2(1

依题意要使Tn

解得m≥3或m≤－4，又m为正整数，所以m的最小值为3。

三、职高等比数列数学题 急!

我是一个辛辛苦苦学完的初一初二，成绩还很不错，最后因为身体原因休学一年，没有考上高中的人。最后利用暑期学完了初三的基础。可以很明确的说，不用从初中开始。因为高中是从一个更深的角度去学数学。但是深入，不代表不会从零开始。用好职高发给你的书就可以了。没有初中基础，照样可以学会。但是计算一定要练，因为这个东西只要不练正确率就会下降，而练了你虽然暂时不会感觉有什么效果，但是坚持一个月，你就会感觉到。最后我建议，根据职高学的内容，来查找需要的初中知识，有针对性的练。有一些初中概念，就不必去学了，因为职高会给一个更准确的定义

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